[2] 플라즈마 내 입자의 거동 : a single particle

 

I. 로런츠 힘(Lorentz Force)

- 전기장과 자기장이 존재하는 공간에서 전하는 로런츠 힘을 받는다. 

$$m \cfrac {d \vec{v}} {dt} = q(\vec{E}+\vec{v} \times \vec{B})$$

  가장 간단한 상황으로 z축 방향의 자기장만 존재하고 전기장은 없는 경우를 먼저 살펴본다. 

  입자가 xy평면에 나란하게 자기장 영역으로 입사한 상황을 가정하자. 위 공식에 의해

$$m \cfrac {d} {dt} (v_x, v_y, 0) = q(v_x, v_y, 0) \times (0, 0, B_0)=q(v_yB_0, -v_xB_0, 0)$$

$$ \cfrac {d^2v_x}{dt^2}=\cfrac {-q^2B_0^2}{m^2} v_x = -w^2 v_x, \cfrac {d^2v_y} {dt^2} = - w^2 v_y$$

  위 방정식을 풀면 다음의 해를 얻고, 

$$\therefore v_x=v cos(wt+\phi), v_y=-vsin(wt+\phi)$$

  이로부터 자기장 영역 내에서 전하가 원운동을 한다는 사실을 안다. 그 주기와 반지름은

$$ \therefore T=\cfrac {2 \pi} {w}=\cfrac {2 \pi m} {q B_0}$$

$$ \therefore r = \cfrac {v}{w} = \cfrac {mv}{\left| q \right| B_0}$$

  이다. 여기에 z축 방향의 속도 성분이 생기는 경우를 생각해보면, 그 성분은 지금 얻은 해에 영향을 주지 못하는 것을 알 수 있다. 요컨대 여전히 z축에 수직인 방향의 속도만이 회전 반지름을 결정하는데, 추가된 z축 성분에 의해 전하가 원운동 방향에 수직으로 운동하게 되어 결과적으로는 나선 운동을 하게 된다. 

  이상의 논의로부터 알 수 있는 중요한 사실은 회전 주파수가 질량에 반비례하고 반지름은 비례한다는 것이다. 플라즈마를 구성하는 전하는 전자와 이온인데, 이온의 질량은 전자 질량보다 매우 크다. 따라서 같은 자기장 환경 아래에 있더라도 전자는 훨씬 더 빠르게 회전하며, 작은 반지름을 갖게 된다. 또한 전하의 부호 때문에 회전 방향은 서로 반대이다. 

 

II. Drift

- 전기장과 자기장 환경에 따라 전하는 회전중심이 drift되는 원운동을 하게 된다. 

i. E X B drift

- 앞서 살펴본 상황에 x축 방향으로의 전기장이 추가되었을 때, 로런츠 힘 공식을 사용하면

$$m \cfrac {d}{dt} (v_x, v_y, 0) = q(E_0, 0, 0)+q(v_x, v_y, 0) \times (0, 0, B_0)=(qE_0+qB_0v_y, -qB_0v_x,0)$$

$$ \cfrac {d^2v_x}{dt^2}=\cfrac {-q^2B_0^2}{m^2} v_x = -w^2 v_x, \cfrac {d^2v_y} {dt^2} = - w^2(\cfrac {E_0}{B_0}+v_y)$$

  v_y에 대한 식에 항이 추가된 것은 중첩원리를 사용해 particular solution을 수정함으로써 빠르게 해결할 수 있다. 이로부터 다음과 같은 -y축 방향의 drift가 발생함을 안다. 

$$\therefore v_x=v cos(wt+\phi), v_y=-vsin(wt+\phi)- \cfrac {E_0}{B_0}$$

  전기장과 자기장의 외적 방향으로 발생하는 이러한 drift를 E X B drift라 부른다. 이는

$$\vec {v}=\cfrac {q\vec{E} \times \vec {B}}{qB^2}$$

  로 계산되고, 직전의 회전 속도와는 달리 E X B drift는 속도가 질량과 무관함을 확인할 수 있다. 

  직관적인 이해를 위해 다음을 살펴보자. 

  위 그림은 (0, 0)에서 운동을 시작한 양전하가 drift되는 모습을 나타낸 것이다. E의 방향으로 갈 때는 가속, 반지름이 증가했다가 돌아올 때는 속력이 느려져 반지름이 감소한다. 이 때문에 궤도가 원이 아닌 타원에 가까운 형태를 갖게 된다. 전기장이 없을 때는 (0, 0) 근방에서 원운동을 할 것이었으나 전기장에 의해 오른쪽을 향하는 drift가 일어난 것이다. 

  로런츠 힘을 사용한 공식을 자세히 살펴보면, 이러한 drift는 비단 전기장에 의한 힘뿐만 아니라 다른 종류의 힘에 대해서도 발생할 수 있음을 눈치챌 수 있다. 예컨대 전기력 qE 대신 중력 mg가 작용하면, 다음처럼 drift 속도를 계산할 수 있다. 

$$v=\cfrac {m\vec{g} \times \vec {B}}{qB^2}$$

  다만 이 경우에는 전기장과 달리 질량에 따른 속도 차이가 발생한다. 요약하면, E X B drift는 전하에 작용하는 힘과 자기장의 외적 방향으로 일어나는 drift의 한 예시이다. 

 

ii. grad-B drift

- 다음으로는 자기장이 균일하지 않은 상황을 생각해보자. 자기장의 밀도가 변한다면 초기에 예상된 원운동 궤도 위를 움직이는 전하에 가해지는 자기장의 세기도 변하게 된다. 이 역시 위에서 살펴본 전기장과 마찬가지로 회전중심의 drift를 야기한다. 

grad-B의 방향은 B가 강해지는 방향이다. 

  이러한 drift를 grad-B drift라 하며 속도는 다음처럼 계산한다. 속도의 부호는 전하의 부호와 같다. 

$$\vec{v}=\pm \cfrac {1}{2} vr \cfrac {\vec {B} \times \vec {\nabla }B}{B^2}$$

  식을 사용해 확인하기 전에 먼저 직관적으로 이해해보자. 자기장 내에서 원운동하는 전하의 회전 반지름 r은 자기장의 세기에 반비례한다. grad-B의 방향으로 갈수록 자기장이 커지므로, 반지름은 감소한다. 반대로 grad-B의 역방향으로 갈수록 반지름은 증가한다. 이는 앞서 E X B drift의 상황에서 전기장에 의한 영향과 정확히 상반되는 것으로, grad-B는 -E의 역할을 한다고 생각할 수 있다. 이러한 추론을 통해 위 식에서 drift의 방향이 어째서 B와 grad-B의 외적 방향인지를 E X B drift의 식과 비교함으로써 알아낼 수 있을 것이다.  

  간단한 예시를 들어 검증해보자. 자기장

$$\vec{B} = (0, 0, B_0y)$$

  에 대해 grad-B는

$$\nabla B = \nabla(B_0y) = (0, B_0, 0)$$

  로 계산된다. 이 자기장 B에 의해 xy평면과 나란한 면 위에서 원운동하고 있는 전하는 x축 방향으로는 평균적으로 아무런 힘도 받지 않는다. x축 방향으로는 자기장 세기에 변화가 없기 때문이다. 이는 z축 방향으로도 마찬가지이다. 평균적으로 받는 힘이 0이라는 말의 의미는 기존에 하고 있던 운동에 영향을 주는 요소가 없다는 말과 같다. 

  그러나 y축 방향으로는 다르다. y축 방향으로 가면 갈수록 자기장의 세기가 커지기 때문에 중심을 향하는 힘을 더 많이 받게 되고, -y축 방향으로 가면 그 반대가 되어 평균력에 불균형이 생긴다. 이 힘을 계산해보자. 전하의 원운동이 시계방향으로 이루어질 때 속력을 v_0, 초기 위치를 12시 방향으로 두면

$$F_y=-qv_xB_0y=-qB_0v_0rcos^2wt$$

  이고 한 주기 동안의 평균력은

$$\bar {F_y} = -\cfrac {1}{2}qB_0v_0r$$

  임을 알 수 있다. 전하에 작용하는 힘이 drift를 발생시킨다는 것을 앞에서 확인하였으므로, 해당 식에 이를 대입하면

$$\vec {v} = -\cfrac {v_0r}{2B_0^2} \vec {\nabla} B \times \vec {B}$$

  이 되어 원하는 식을 얻는다. 

 

iii. curvature drift

- 마지막으로 살펴볼 drift는 곡선 궤도에 의한 것으로, 이를 발생시키는 요인은 원심력이다. 원운동 중인 전하에 대해, 원심력은

$$\vec {F} =mv^2 \cfrac {\vec {r}}{r^2}$$

  으로 계산되며 이를 힘에 의한 drift 공식에 대입하면

$$\vec {v}=\cfrac {mv^2}{qB^2} \cfrac {\vec {r} \times \vec {B}}{r^2}$$

  를 얻는다. 

  직선 도선에 흐르는 전류에 의한 자기장이 형성된 상황을 생각해보면, grad-B drift와 curvature drift가 모두 발생하리라는 것을 쉽게 알아차릴 수 있다. grad-B는 도선 쪽을 향하고, 원심력은 그 반대를 향한다. 이때 자기장의 세기는 거리에 반비례하므로

$$\cfrac {\vec {\nabla} B}{\left | B \right |}=-\cfrac {\vec {r}}{r^2}$$

  로 쓸 수 있다. 이를 사용하면 total drift velocity를 다음처럼 구할 수 있다. 

$$\vec {v}_{total} = \cfrac {m}{q} \cfrac {\vec {r} \times \vec {B}} {r^2B^2} (v_{||}^2+ \cfrac {1}{2}v_\perp^2)$$

  이때 v_||와 v_perp는 각각 자기장에 나란하고 수직한 방향으로의 속도 성분을 의미한다. 전자는 원심력에 기여하여 curvature drift를 일으키고, 후자는 자기장에 의한 원운동에 연관되어 grad-B drift를 일으킨다. 

  실제 플라즈마에서 일어나는 drift는 한층 더 복잡한 양상을 띈다. 한 예로 플라즈마 구성 입자에 힘이 작용하여 drift가 발생, 이온과 전자가 움직이게 되면 둘의 부호가 다른 관계로 서로 반대 방향으로 이동한다. 이는 플라즈마 내부에 자체적인 전기장을 형성하여 E X B drift를 야기한다. 

 

iv. magnetic mirror, magnetic bottle

- 다음은 대전 입자를 가둬두는 방법 중 하나인 magnetic bottle을 나타낸 것이다. 

대전 입자는 자기력선을 따라 이동하며 bottle 내부를 맴돈다. 자기장과 나란한 방향의 속도 성분은 자기장의 영향을 받지 않기 때문이다. 

  위 그림에서 B_0 << B_m인데, 이 경우 대전 입자는 B_m 근방에서 튕겨져 나온다. 이를 magnetic mirror라 하고 이를 위에서처럼 쌍으로 양쪽에 배치한 것을 magnetic bottle이라 부른다. 

  그 원리를 간단하게 소개한다. adiabatic invariant를 가정하면 대전 입자의 자기 모멘트 mu는 항상 일정하다. mu는

$$\mu = IA = \cfrac {q} {2 \pi / w} \pi r^2=\cfrac {mv_\perp^2} {2B} $$

  로 계산되는데, 대전 입자가 B_0인 곳에서 B_m인 곳을 향해 drift되고 있는 상황을 생각해보자. 자기장의 세기가 계속해서 커지는 가운데 자기 모멘트는 일정하므로 v_perp 역시 점차 증가한다. 그런데 전체 에너지

$$E=q\phi + \cfrac {1}{2}m(v_{||}^2+v_\perp^2)$$

  는 보존되므로 이에 따라 v_parallel은 감소한다. magnetic mirror에 부딪혀 대전 입자가 튕겨나오면, v_parallel은 음의 값을 가지고 이후 v_perp가 다시 감소한다. 

magnetic mirror에 의해 대전 입자가 반사되는 모습. 

  지구 자기장에 의한 자기력선 위에서도 이러한 현상이 발생한다. 아래 그림은 남반구에서 시작하여 북반구에서 끝나는 지구 자기력선(나침반의 원리를 생각해보면, 북극이 S극이고 남극이 N극이 되어야 함을 알 수 있다)을 따라 대기 중의 전하가 움직이는 모습을 나타낸 것이다. 전하는 이 자기력선 위에서 왕복 운동을 하는데, 지구에서 먼 곳의 자기장을 B_0, 지면과 가까운 곳의 자기장을 B_m으로 두면 B_0 << B_m의 조건이 만족되기 때문이다. magnetic bottle을 휘어서 한쪽 입구는 북반구에, 다른 쪽 입구는 남반구에 붙여둔 모양이라 생각하면 된다. 

  이러한 magnetic mirror는 내부 자기장의 세기나 입자의 속력 조건에 의해 돌파될 수 있고, 이렇게 되면 대전 입자는 bottle에서 빠져나가게 된다. 이런 유출을 방지하기 위해 bottle의 양쪽을 연결시켜 고리 모양으로 만든 것이 현재 플라즈마 연구에 사용되고 있는 토카막이다. 

 

 

 

 

참고문헌

1. David K. "Fundamentals of Engineering Electromagnetics", Pearson (2014)

2. F. Chen, "Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion", Springer (2016)

3. Kyoung Jae Chung, "Fundamentals of Plasma Physics(Introduction to Nuclear Engineering)", Seoul National University (2020)