[3] 플라즈마 내 입자의 거동 : many particles

 

 

I. 다수의 입자(전자)를 다루는 방법

- 지난 글에서는 대전 입자 하나가 전기장과 자기장 속에서 어떻게 움직이는지에 대해 알아보았다. 그러나 이렇게 개별 입자에 집중하여 운동을 분석하는 방법은 플라즈마와 같이 무수히 많은 입자들이 움직이는 환경에서는 사용하기 어렵다. 이 경우 다수의 입자들을 묶어서 고려해볼 수 있으며, 그 방법으로 유체역학과 통계역학의 내용을 소개하고자 한다. 

i. Boltzmann equation

- 3차원 공간 내에서 움직이는 입자의 분포는 위치, 속도, 시간에 대한 함수로 나타낼 수 있다. 3차원 공간이라는 조건이 붙어있으므로 위상 공간은 7차원 공간이 된다. 따라서 분포함수 f를 다음처럼 쓸 수 있다. 

$$f(\vec {r}, \vec {v}, t)d^3rd^3v$$

  이때 우리가 알고자 하는 것은 입자 분포가 시간에 따라 어떻게 변해가는가에 대한 정보이다. 분포의 시간변화량에 영향을 주는 요인으로 다음 3가지를 생각해보자. 첫째는 외부에서 입자에 작용하는 힘이고, 둘째는 입자의 확산이며, 셋째는 입자 간 충돌에 의한 것이다. 요컨대 다음처럼 방정식의 항을 구성할 수 있다. 

$$(\frac { \partial f }{ \partial t } )={ (\frac { \partial f }{ \partial t } ) }_{ force }+{ (\frac { \partial f }{ \partial t } ) }_{ diff }+{ (\frac { \partial f }{ \partial t } ) }_{ col }$$

  각각의 항을 유도하면 다음을 얻는다. force term과 diffusion term을 좌변으로 넘긴 형태로, 자세한 과정은 생략하기로 한다. 

$$(\frac { \partial f }{ \partial t } )+\vec { v } \cdot { \triangledown }_{ r }f+\frac { \vec { F } }{ m } \cdot { \triangledown }_{ v }f={ (\frac { \partial f }{ \partial t } ) }_{ col }$$

  이제 계산을 줄이기 위해 분포함수 f를 속도에 의존하지 않는 밀도함수 n으로 바꾸고자 한다. 이때 n은 f를 v에 대해 적분한 값이 된다. 

$$n(\vec { v } ,t)=\int { f } { d }^{ 3 }v$$

  또한 다음과 같이 flux와 입자의 평균 속도 u를 구하여 사용하기로 한다. 대개 표기상 v는 입자의 개별 속도를, u는 입자 전반의 drift velocity를 의미한다. 

$$\vec { \Gamma } (\vec { v } ,t)=n\vec { u } =\int { \vec { v } f } { d }^{ 3 }v$$

  이렇게 구한 n에 대해 다음의 연속방정식이 성립한다. G는 생성, L은 손실을 의미한다. 

$$\frac { \partial n }{ \partial t } +\nabla \cdot (n\vec { u } )=G-L$$

  steady-state의 저온 플라즈마 상태를 가정하면, surface에서의 확산에 의한 손실에 비해 매우 적은 recombination에 의한 손실을 무시할 수 있으므로

$$G=\nu_{iz}n_e, \ L \approx 0$$

  이때 nu_iz는 이온화 빈도를, n_e는 전자의 밀도를 의미한다. 따라서 다음의 결론을 사용할 수 있다. 

$$\nabla \cdot (n\vec { u } )=\nu_{iz}n_e$$

  위 식은 n과 u라는 두 개의 미지수를 가지고 있으므로 n에 대한 해를 얻어내기엔 아직 부족하다. 이때는 플라즈마 입자들의 집합을 유체처럼 생각하고, 운동량 보존을 활용해 u를 구할 수 있다. 저온 플라즈마에서 외부 자기장이 없다고 두고, 전자의 움직임에 비해 중성입자의 움직임은 거의 없다고 생각하면 다음처럼 쓸 수 있다. 

$$mn(\frac { \partial \vec { u } }{ \partial t } +(\vec { u } \cdot \nabla )\vec { u } )=qn\vec { E } -\nabla p-mn{ \nu }_{ m }\vec { u }$$

  위 식의 우변은 전기력, 압력, 충돌 등에 의해 모두 플라즈마 내 입자들이 받는 힘이다. nu_m은 collision frequency와 유사한 값이나, 운동량이 전달되는 경우에 한정한 빈도를 의미한다. 

  저온 플라즈마 내의 전자들은 서로 간의 열평형이 이루어진 상태이다. 이에 더해 시간적, 공간적 변화가 없고 가속도가 주어지지 않았다고 가정하면, Boltzmann equation의 값은 0이 된다. 이때의 해를 Maxwell-Boltzmann distribution이라 부르며 다음처럼 주어진다. 

$$n(v)dv=4n\pi v^2(\frac{m}{2\pi kT})^\frac{3}{2}\ e^\frac{-mv^2}{2kT}dv$$

  또한 운동량 보존에 대한 식을 steady-state에서 살펴보면 좌변이 0이 되므로, isothermal state에서의 조건

$$\nabla p = kT \nabla n$$

  를 대입하여 u에 대해 풀이하면

$$\vec { u } =\frac { q }{ m{ \nu }_{ m } } \vec { E } -\frac { kT }{ m{ \nu }_{ m } } \frac { \nabla n }{ n } =\pm \mu \vec { E } -D\frac { \nabla n }{ n } $$

$$\vec {\Gamma}=n\vec { u } =\pm n\mu \vec { E } -D \nabla n$$

  을 얻는다. 위 식의 우변은 전기력에 의한 drift와 diffusion term으로 구성되어 있으며, 

$$\mu =\frac { \left| q \right| }{ m{ \nu }_{ m } } ,\quad D=\frac { kT }{ m{ \nu }_{ m } } $$

  를 각각 mobility, diffusion coefficient라 부른다. 두 값의 분모에 충돌 수 nu_m이 공통으로 들어가 있는 것을 확인할 수 있는데, 전자 간 충돌은 전자의 drift와 diffusion 모두를 방해하는 요소이기 때문이다. 

  이때 mu와 D 사이의 관계식

$$\mu=\cfrac {\left| q \right|D}{kT}$$

  을 Einstein relation이라 부른다. 

 

ii. Boltzmann's relation

- 전자 간 열평형이 이루어진 플라즈마 내에서 전자의 질량이 매우 작은 관계로 질량과 연관된 그 어떤 힘도 작용하지 않는다고 가정해보자. 이 경우 운동량 보존에 관한 식이 간단한 형태로 변하게 된다. 전기장에 대한 식

$$\vec {E} = -\nabla V$$

  과 위에서 다룬 isothermal condition

$$\nabla p = kT \nabla n$$

  을 사용하면

$$e{ n }_{ e }\nabla V-k{ T }_{ e }\nabla { n }_{ e }={ n }_{ e }\nabla (eV-k{ T }_{ e }ln({ n }_{ e }))=0$$

$$\therefore { n }_{ e }(\vec { r } )={ n }_{ 0 }{ e }^{ eV(\vec { r } )/k{ T }_{ e } }$$

  을 얻는다. 이온에 대해서도 비슷한 방식으로 식을 유도해낼 수 있으나, 전자에 비해 질량이 매우 크므로 그 효과는 대개 무시된다. 

 

 

II. 플라즈마의 특성

- 위에서 얻은 식을 바탕으로 플라즈마의 특성 두 가지를 살펴볼 수 있다. 하나는 집단적 행동 양상(collective behavior), 다른 하나는 준중성(quasi-neutral)이다. 

i. Ambipolar diffusion(쌍극성 확산)

- 플라즈마 내에서 전하량이 보존되므로 이온과 전자의 밀도와 flux는 이론적으로 서로 같다(1+ 양이온으로 가정한다). I-ii에서 얻은 식을 사용해 각각의 flux를 다음처럼 쓸 수 있다. 

$$\Gamma_i=n\mu_iE-D_i\nabla n, \quad \Gamma_e=-n\mu_eE-D_e\nabla n$$

  그런데 전자의 질량이 이온보다 매우 작고 온도는 더 높으므로 전자의 확산계수가 이온보다 훨씬 크게 결정된다. 따라서 확산 과정에서 flux의 차이가 생겨 플라즈마는 점차 이온과 전자로 갈라지게 되는데, 이때 플라즈마에 내부 전기장이 자체적으로 발생, 이러한 분리를 방해하는 방향으로 작용하여 두 입자의 flux를 같도록 만든다. 이를 ambipolar diffusion이라 부른다. 

흩어지려는 전자와 머물러 있으려는 이온이 내부 전기장에 의해 묶여 집단적이고 평균적인 움직임을 갖게 된다. 이는 줄로 묶인 개와 주인 간의 관계와 유사하다. 

  내부 전기장의 크기는 위 식의 우변을 각각 비교하여 구할 수 있다. 

$$E=\cfrac {D_i-D_e}{\mu_i+\mu_e} \cfrac {\nabla n}{n}$$

  이 전기장을 대입하여 구한 공통의 flux를 바탕으로 새로운 확산계수를 계산해낼 수 있다. 

$$\Gamma=-\cfrac {\mu_eD_i+\mu_iD_e}{\mu_i+\mu_e} \nabla n=-D_a\nabla n$$

  저온 플라즈마에서 이온의 mobility는 전자에 비해 무시할 만한 수준이다. 또한 앞서 언급된 einstein relation을 사용해 ambipolar diffusion coefficient를 근사하면 다음을 얻는다. T_e >> T_i의 조건을 사용한다. 

$$D_a=\cfrac {\mu_eD_i+\mu_iD_e}{\mu_i+\mu_e} \approx D_i+\cfrac {\mu_i}{\mu_e} D_e = \cfrac {D_i}{T_i}(T_i+T_e) \sim \mu_iT_e$$

 

ii. Plasma oscillation

- 이온과 전자의 분리로 인한 내부 전기장은 플라즈마 내 입자들의 진동을 야기한다. 전자에 대해서, 

$$m\frac { { d }^{ 2 }\Delta x }{ d{ t }^{ 2 } } =-e{ E }_{ x }=-e\frac { { n }_{ 0 }e\Delta x }{ { \epsilon }_{ 0 } } $$

$$\therefore \omega_{pe}=(\cfrac {n_0e^2}{m\epsilon_0})^{1/2}$$

  또한 이온에 대해서도 같은 공식이 성립한다. 다만 이온의 질량이 전자에 비해 매우 크므로 진동수는 전자보다 훨씬 작은 값이 된다. 

  이렇게 구한 플라즈마 진동수는, 아래에서 설명하겠지만 플라즈마의 집단적 행동 양상을 나타내는 지표로 사용된다. 플라즈마 내 입자들이 진동하는 과정에서 다른 입자들과의 충돌이 너무 많이 발생하면 이는 중성입자에 가까운 상태로 보아야 한다. 따라서 물질이 플라즈마 상태에 있다고 볼 수 있는 조건 중 하나로 다음을 쓸 수 있다. 

$$\omega_{pe} > \omega_{col}$$

  즉, 입자가 1회 진동할 때마다 발생하는 평균적인 충돌 횟수가 1보다 작으면 플라즈마 상태로 볼 수 있다. 플라즈마의 oscillation frequency를 ω, collision period를 τ로 두면 다음처럼 쓸 수도 있다. 

$$\omega \tau \gg 1$$

 

iii. Debye shielding effect

- 플라즈마를 준중성이라 부르는 까닭은 멀리서 보면 중성이지만, 내부에는 전하를 가진 입자들이 각자 자유롭게 움직이고 있기 때문이다. 이 때문에 중성입자로만 이루어진 환경에서와는 다른 전기적 특성을 갖게 된다. 다음의 예시를 보자. 

 

  위 그림은 플라즈마 상태의 물질에 전극을 넣은 모습을 나타낸 것이다. 이 중 왼쪽에 있는 +극을 살펴보자. 이 전극은 어떤 양의 전하량 Q를 가지고 있는 점전하로 생각할 수 있다. 따라서 그 근방에서의 전기 퍼텐셜은 다음과 같다. 

$$V(r)=\cfrac {Q}{4\pi \epsilon_0r}$$

  일반적인 중성입자 내에서는 위 퍼텐셜 식을 사용할 수 있겠지만, 플라즈마 내에서는 전자들이 +극을 향해 쏠리게 되면서 source처럼 작용하게 된다. Boltzmann relation을 사용해 poisson equation을 세우면

$${ \nabla }^{ 2 }V=-\frac { e{ n }_{ 0 } }{ { \epsilon }_{ 0 } } (1-{ e }^{ eV/k{ T }_{ e } })\approx \frac { { e }^{ 2 }{ n }_{ 0 } }{ { \epsilon }_{ 0 }k{ T }_{ e } } V=\frac { V }{ { \lambda }_{ D }^{ 2 } }$$

  따라서 플라즈마 내에서의 전기 퍼텐셜은 다음과 같다. 

$$V(r)=\cfrac {Q}{4\pi \epsilon_0r}e^{-r/\lambda_D}$$

  앞선 식과 비교해봤을 때, 퍼텐셜이 훨씬 더 빠르게 감소하는 것을 확인할 수 있다. 이는 전자들이 +극으로 몰리면서 발생한 차폐 효과에 의한 것으로, 이것을 Debye shielding effect라 부른다. 

  위 식의 lambda_D는 debye length라 부른다. 이는 플라즈마를 중성으로 볼 수 있는 최소한의 크기 단위로, 플라즈마의 전하적 중성은 개별 입자에 의한 전기적 영향이 다른 입자에 의해 차폐되면서 발생한다는 사실을 함축한다. 때문에 관찰 범위를 debye length보다 좁히면 더 이상 플라즈마를 중성으로 생각할 수 없게 된다. 

  debye length의 정의에서 몇 가지 비례 관계를 확인해보자. 가장 오른쪽 식으로의 변환은 온도의 단위를 Kelvin에서 Volt로 바꾸는 과정을 보여준다. 이는 eT_e를 에너지 단위에서 보다 간편하게 사용할 수 있도록 해준다. 

$$\lambda_D=(\cfrac {\epsilon_0kT_e}{e^2n_0})^{1/2}=(\cfrac {\epsilon_0T_e}{en_0})^{1/2}$$

  debye length가 작다는 것은 비교적 짧은 거리에서도 차폐가 된다는 뜻이고, 반대는 그만큼 차폐가 덜 된다는 의미이다. 위 식에서 전자의 온도가 높으면 debye length가 커지는 것을 알 수 있는데, 전자의 운동이 활발해진 만큼 +극에 끌려오는 양이 줄기 때문이다. 반면 전자의 밀도가 높은 경우에는 이에 대응하여 차폐 효과가 커지는 것을 확인할 수 있다. 일반적인 공정 플라즈마 상태에 대해, debye length는 약 0.14mm의 값을 갖는다. debye shielding에 의한 플라즈마의 전기적 중성은 플라즈마 내 대전 입자들에 이상기체 방정식을 적용할 수 있는 근거가 된다. 

  debye length는 또한 플라즈마 상태의 기준으로도 사용된다. 요컨대 debye length와 같은 반지름을 갖는 구체(이를 debye sphere라 한다) 내에 충분히 많은 입자가 존재해야만 플라즈마 상태로 볼 수 있다는 것이다. debye shielding effect를 플라즈마의 특성으로 볼 때 플라즈마 내 대전 입자의 밀도가 충분히 높지 않으면 그 특성이 발현되지 않기 때문이다. 따라서 다음 조건이 플라즈마 상태의 결정 기준이 된다. 

$$N_D=n \cfrac {4}{3} \pi \lambda_D^3 \gg 1$$

 

iv. Quasi-neutrality

- quasi-neutrality란 극성이 반대인 두 물질의 밀도가 같은 상태를 의미한다. 플라즈마에서는 앞서 언급한 대로 계의 크기가 debye length보다 크면 준중성 상태가 된다. 이를 검증해보자. poisson equation에서 laplacian을 근사시키면 

$$\nabla^2V \sim \cfrac {V}{l^2} \sim \left| \cfrac {e}{\epsilon_0}(Zn_i-n_e) \right|$$

  이때 플라즈마에서 일반적으로 다음이 성립함이 알려져 있다. 

$$V \lesssim T_e = \cfrac {n_ee}{\epsilon_0}\lambda_{D}^2$$

  따라서

$$\left| \cfrac {Zn_i-n_e}{n_e} \right| \sim \cfrac {V}{l^2}\cfrac{\epsilon_0}{n_ee} \lesssim \cfrac{\lambda_D^2}{l^2} \ll 1$$

$$\therefore Zn_i=n_e$$

  를 얻고, 이를 plasma approximation이라 부른다.

  위에서 전기 퍼텐셜과 전자 온도 간 관계식

$$V \lesssim T_e$$

  이 등장한 근거는 플라즈마가 전기적 효과와 열적 효과의 균형이 잡힌 상태이기 때문이다. 만약 V의 영향이 더 크다면 전기장 내에서 전자와 이온이 급격하게 분리되면서 beam의 성질을 갖게 된다. 반대로 열적 효과가 너무 커지면 전기장에 의한 움직임보다 입자 간 충돌에 의한 움직임이 지배적인 영향력을 행사하면서 중성입자와의 구별이 어려워진다. 

  계의 크기가 debye length보다 크다는 조건이 만족되는 곳은 대개 플라즈마의 bulk에 해당한다. 플라즈마는 다른 물질과의 경계에서 sheath를 형성하는데, sheath의 두께는 debye length와 비슷한 수준에 그쳐 plasma approximation이 성립하지 않는다. 

  위 그림은 접지된 양쪽의 벽 사이에 플라즈마가 들어있는 상황을 나타낸 것이다. 처음에는 전자와 이온이 같은 밀도 수를 가지고 있었으나, 시간이 흐르면서 전자가 먼저 접지를 통해 빠져나가게 된다. 이 때문에 이온만 남은 중간 지역의 퍼텐셜이 상승하게 되고, 벽과의 경계에서 급격히 떨어지는 양상을 띠게 된다. 이 퍼텐셜은 나가려는 전자의 움직임과 전기장에 의한 방해가 동등해질 때까지 증가한다. 

 

v. Criteria for plasmas

- 이상의 논의로부터 플라즈마가 될 수 있는 구분 조건을 정리하면 다음과 같다. 

$$\lambda_D \ll L$$

$$N_D \gg 1$$

$$\omega_{pe} > \omega_{col}$$

  위쪽의 두 식은 debye shielding effect에서 유도된 것이고, 마지막 식은 plasma oscillation에 대한 것이다. 

 

 

 

 

 

 

 

참고문헌

1. F. Chen, "Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion", Springer (2016)

2. Kyoung Jae Chung, "Fundamentals of Plasma Physics(Introduction to Nuclear Engineering)", Seoul National University (2020)

3. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala. "Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications", 2nd ed. McGraw-Hill Ltd. (2009)