[6] 핵융합 기초

 

0. 서론

  이전의 글을 통해 플라즈마의 특성과 생성에 대해 알아보았다. 플라즈마가 가진 고유한 특성은 여러 분야에서 활용하고 있는데, 그 중 대중적으로 잘 알려진 것이 플라즈마를 사용한 핵융합 기술이다. 핵융합을 이용한 발전은 온실가스와 자원 고갈의 문제를 안고 있는 화석연료 발전과 얻을 수 있는 에너지량이 적은 태양광, 풍력, 수력 발전을 대체할 수 있는 미래 기술 중 하나로 꼽힌다. 이번 글에서는 핵융합의 원리를 설명하고, 어째서 플라즈마가 핵융합에 쓰이게 되었는지 그 이유를 간략히 살펴볼 것이다. 

상용핵융합로의 플라즈마 성능을 달성할 수 있는 우리나라의 KSTAR의 모습이다. 

 

 

I. 핵에너지

  핵에너지는 핵자(nucleon) 수준에서 다뤄지는 에너지를 통칭한다. 그 에너지량은 유명한 공식

$$E=mc^2$$

  에 의해 계산할 수 있다. 핵반응 과정에서 발생하는 질량결손이 에너지로 방출되는 것이다. 이는 분자 간 화학반응으로부터 얻어지는 화학에너지에 비해 매우 큰 값을 가지고 있다. 

radiation의 형태로 방출되는 에너지는 질량결손에서 유래하고 그 양은 Einstein의 공식을 따른다. 

 

i. binding energy

  binding energy(결합에너지)란 핵자 간 결합을 깨기 위해 필요한 에너지를 뜻한다. 핵을 구성하고 있는 양성자와 중성자는 전자기력이나 강한 핵력으로 서로 묶여 있는데, 이 결합이 binding energy를 유발한다. 

  아래는 핵자당 결합에너지를 원소별로 나타낸 그래프이다. 

Fig 1. Binding Energy Curve. 그래프의 유도 과정은 부록으로 남긴다. 

  주어진 그래프를 보면 원자번호 26번에 해당하는 Fe(철)에서 핵자당 결합에너지가 최댓값을 갖고, 그 양방향으로는 감소세를 갖는 것을 확인할 수 있다. binding energy가 클수록 그 결합이 잘 깨지지 않는다는 것을 의미하므로, Fe에는 가장 안정한 원소라는 표현이 붙었다. 이 때문에 Fig 1의 그래프는 H(수소)에서 Fe로 향하는 핵융합과 U(우라늄)에서 Fe로 향하는 핵분열이 일어나게 하는 이론적 토대로서 핵에너지 기술에 매우 중요한 의미를 갖는다. 두 핵반응 모두 물질이 불안정한 상태에서 안정한 상태로 변해가며 에너지를 방출하는 과정에 해당하는 것이다. 

 

 

II. 핵융합

  Fig 1에서 Fe로 원소가 안정화되는 과정이 두 가지가 있음을 알 수 있다. 하나는 원자번호가 작은 쪽에서 올라오는 핵융합 반응이고, 다른 하나는 원자번호가 큰 쪽에서 내려오는 핵분열 반응이다. 핵분열에 대해서는 '핵공학개론1' 태그의 글에서 나중에 논하기로 하고, 본 글에서는 핵융합 반응에 주목하고자 한다. 

i. 원리

  핵융합 반응은 양(+)으로 대전된 두 입자를 결합하는 과정을 포함하고 있다. 이를 위해서는 전자기적 척력을 핵자 간 강한 핵력이 이겨내는 지점까지 가까이 둘 필요가 있다. 핵력이 우세해지는 지점부터는 자연스럽게 결합이 이루어진다. 

  이를 구현하는 가장 단순한 방법은 결합하고자 하는 입자를 표적으로 하여 결합시킬 입자를 발사(bombard)하는 것이다. 일정 수준 이상의 에너지를 갖도록 하여 표적을 맞추기만 하면 퍼텐셜 장벽을 넘어 결합에 성공할 것이다. D-T 반응을 기준으로 이때 필요한 에너지는 수백 keV에 불과하다. 이 방법은 아주 간단하지만, 반응 단면적(cross-section, 이에 대해서는 seraphy.tistory.com/2를 참고할 것)이 너무 작아 실용적이지 못하다는 단점이 있다. 

  다른 방법은 열을 이용한 것이다. Maxwell-Boltzmann distribution을 보면 특정 온도의 기체 분자들은 아래와 같은 분포를 이루고 있다. 

  기체 전반적으로는 하나의 온도 값을 갖더라도 내부의 입자들은 위와 같은 분포로 존재한다. 이때 두 입자의 결합에 필요한 조건 이상의 에너지를 갖는 입자들은 서로 충돌하여 핵융합 반응을 일으킬 수 있다. 이처럼 높은 에너지를 갖는 기체 분자는 플라즈마 상태가 되고, 이러한 이유 때문에 플라즈마가 핵융합 기술의 바탕이 된 것이다. 

 

ii. Sun

  흔히 핵융합을 논할 때 예시로 드는 것 중 하나가 태양이다. 태양은 항성 내부의 수소가 헬륨으로 변하는 핵융합 반응을 통해 막대한 에너지를 얻는다. 대표적인 반응은 양성자(수소 원자핵) 4개가 모여 헬륨 1개를 만드는 반응이다. 

  위 그림은 양성자 4개에서 시작하여 헬륨에 이르기까지의 반응 과정을 나타낸 것이다. p 2개가 D를 만들고, D-p 반응에서 생겨난 He-3가 다시 모여 He-4를 만든다. 이 중 첫 번째 반응인 pp는 아주 느리게 일어나는 반응으로, 일종의 병목현상을 유발해 태양 내부에 양성자의 수가 충분히 유지되도록 만든다. 

  그러나, 이 반응을 사용하는 상용핵융합로의 제작은 매우 어렵다. 위 반응은 수천억 대기압, 1500만 켈빈의 태양 내부와 같이 까다로운 조건을 맞춰야 일어날 수 있다. p와 p의 결합 시에는 중성자가 없어 대개 Diproton(He-2)이 생성되며, 이 입자는 아주 불안정하여 잠시 후 다시 분해된다(앞서 pp 반응이 느리게 일어난다고 언급한 까닭이 이것이다. 반응이 느리다는 것은 잘 일어나지 않는다는 것과 같은 의미이다). 또한 He-3는 전하량이 2+이므로 척력이 강해 상호 간 결합이 수소의 isotope를 사용하는 반응보다 훨씬 더 어렵다. 이러한 이유로 실제 연구 중인 상용핵융합로는 다른 핵융합 반응을 사용하여 동작하도록 설계된다. 이를 다음 문단에서 살펴보자. 

 

iii. major fusion reactions

  다음은 다양한 핵융합 반응의 cross-section을 나타낸 것이다. D는 중수소(Deuterium), T는 삼중수소(Tritium)을 말한다. 

  낮은 온도에서 cross-section이 큰 반응은 DD, DT, DHe-3이다. 각각의 반응은 다음의 양상을 띤다. 

  이들 중 가장 쉽게 도달할 수 있는 DT 반응이 상용핵융합로의 주요 반응으로 쓰인다. 요컨대 전자기력에 의한 척력을 줄이는 것이 효율을 높이는 방법인데, He-3보다는 전하량이 작고, D보다는 질량이 커 전자기력의 영향을 덜 받는다는 것이 T의 장점이라고 할 수 있다. 

  그런데 T는 반감기가 12년 정도인 방사성 동위원소에 해당한다. T는 자연 생성되는 양이 많지 않을 뿐더러 반감기가 짧아 구하기 어려운 물질로, 대개 리튬에 중성자를 쏘아 인공적으로 제조한다. 

  이때 DT 반응식을 다시 보자. DT 반응으로 생성되는 물질 중에 중성자가 있음을 알 수 있다. 따라서 핵융합로의 설계는 DT 반응에서 얻은 중성자를 리튬에 입사시켜 T를 공급하는 계통을 포함하고 있다. 아래 그림은 플라즈마 상태의 DT가 반응하는 내부 핵융합로와 그 주위를 감싼 리튬 blanket, 잔여 물질인 헬륨을 처리하는 계통을 나타낸 것이다. 실제 발전은 이 과정에서 얻은 중성자의 에너지와 리튬 반응에서 방출된 에너지로 물을 가열해 터빈을 돌리는 기존 방식을 사용한다. 

  반응을 통해 중성자가 가지고 나오는 에너지는 다음과 같다. 충돌 후 두 입자의 운동에너지의 비는 질량의 역수비와 같다는 사실을 기억하자. alpha 입자의 질량이 중성자의 약 4배이므로, 80%의 에너지는 중성자가 갖게 된다. 

 

 

III. Fusion Power

  지금까지 핵융합의 이론적 바탕을 알아보고, 이를 어떻게 구현할 수 있으며 어떤 핵반응이 발전에 적절한지를 살펴보았다. 그 결과 원료인 D와 T를 가열하여 플라즈마 상태로 만들고 반응시키는 방식을 채택하였다. 

  다음으로는 핵융합을 통해 얼만큼의 에너지를 얻을 수 있는지를 고려해보자. 이에 대한 이론적 조건을 계산한 것은 영국의 물리학자 Lawson이다. 

i. Lawson criterion

  플라즈마를 사용해 핵융합 반응을 일으킬 때 들어간 에너지 대비 얻는 에너지를 Q value라 한다. 예컨대 Q = 1이면 들어간 에너지와 얻은 에너지가 같은 경우를 말한다. 만약 플라즈마가 self-sustaining한 특성을 가지게 될 경우, 얻을 수 있는 에너지는 이론상 무한하므로 Q value 역시 무한대로 발산한다. 이처럼 Q = 1인 경우를 breakeven, Q → ∞인 경우를 ignition이라 부른다. 

  ignition 상태라는 말은 곧 플라즈마가 내부적으로 계속해서 에너지를 얻고 있다는 것과 같다. 이는 DT 반응에서 생성되는 alpha 입자가 자기장에 의해 내부에 갇혀 플라즈마를 다시 가열해주기 때문이다(여기서 자기장이 등장한 이유는 Lawson의 계산이 기본적으로는 자기장을 이용한 핵융합 방식에 대해 이루어졌기 때문이다. 다만 일부 표현을 수정하면 관성을 이용한 방식, 심지어는 non-thermal한 핵융합 방식에도 적용될 수 있다). 

  Lawson은 물질 A와 B의 핵융합 반응을 통해 얻을 수 있는 에너지를 다음과 같이 계산하였다. 

$$P=n_A n_B \left\langle \sigma v \right\rangle_{avg} E$$

  왼쪽은 일률, 오른쪽 식은 순서대로 A, B의 밀도, cross-section을 Maxwell-Boltzmann distribution으로 평균 낸 값, 그리고 reaction당 얻는 에너지이다. 

  Lawson은 이로부터 가둠시간(confinement time)이라는 개념을 사용해 criterion을 정리하였다. 가둠시간이란 에너지 밀도를 loss rate로 나눈 것으로, 이 시간이 지나면 유출에 의해 에너지가 모두 손실된다. 

$$\tau_E = \cfrac{W}{P_{loss}}$$

  D와 T의 비율이 1:1인 DT 반응을 생각해보자. 플라즈마 내 이온과 전자의 밀도가 n으로 같고, D와 T 이온의 밀도는 각각 0.5n씩으로 설정한다. 이 플라즈마가 ignition 상태에 있으려면, alpha 입자를 통해 공급되는 에너지와 P_loss가 같아야 한다. 

$$P_{\alpha} = P_{loss}$$

  Lawson의 에너지 공식으로부터 alpha 입자가 공급하는 에너지를 얻는다. 마지막에 곱해진 값은 단위변환인자이다. 

$$P_{\alpha}=n_D n_T \left\langle \sigma v \right\rangle_{avg} E = \cfrac{1}{4} n^2 \left\langle \sigma v \right\rangle_{avg} (3.5 \times 10^3 keV) (1.6 \times 10^{-16} J/keV) [W/m^3]$$

  P_loss는 confinement time에 대한 식에 에너지 밀도로 이온과 전자의 에너지를 대입하여 계산한다. cross-section의 속도에 대한 평균을 낼 때 Maxwell-Boltzmann distribution을 썼으므로 여기에서도 기체방정식을 사용할 수 있다. 

$$P_{loss} = \cfrac{W}{\tau_E} = \cfrac{E_i + E_e}{\tau_E} = \cfrac{3nkT}{\tau_E} [W/m^3]$$

  이 두 식을 연결하면 다음과 같다. kT/e를 묶으면 이는 eV 단위의 온도 값과 같다. 

 $$\cfrac{1}{4} n^2 \left\langle \sigma v \right\rangle_{avg} (3.5 \times 10^3)(1.6 \times 10^{-16}) = \cfrac{3nkT}{\tau_E}$$

$$\therefore n \tau_E = \cfrac{12}{3.5 \times 10^3} \cfrac{T[keV]}{\left\langle \sigma v \right\rangle_{avg}}$$

  이 값을 n-tau product라 부르며, 위 조건을 만족해야 ignition 상태로 진입할 수 있다. 

 

※ Triple Product

  토카막 핵융합로의 가동 온도는 대개 10 ~ 20 keV 정도이다. 이 근방에서 cross-section을 속도에 대해 평균 낸 값은 온도의 제곱에 비례한다는 것이 알려져 있다. 

  이 때문에 n-tau product 대신 온도까지 곱한 값

$$n \tau_E T$$

  를 (Lawson) triple product라 하여 쓰기도 한다. 예컨대, T = 30keV인 경우 triple product는 다음과 같다. 

$$n \tau_E T = 6 \times 10^{21} [keV\ s\ m^{-3}]$$

  이 값은 매우 커 보이지만, 기체방정식 nT = p를 사용하면 다음의 값을 얻는다. 

$$p \tau_E \approx 5 [bar \ s]$$

  이는 다시 말해 5 bar의 기압에서 1초, 또는 5 Gbar에서 1ns 동안 플라즈마를 유지하면 ignition 조건을 만족한다는 뜻이다. 유지시간이 긴 전자는 자기장 가둠을 이용한 핵융합 방식이고, 시간이 짧은 후자는 관성 가둠을 사용한 핵융합 방식에 해당한다. 이러한 핵융합 방식에 대해서는 다음 글에서 다룬다. 

 

 

 

 

 

부록: Binding Energy 식의 유도

  Fig 1의 binding energy curve는 liquid-drop model이라는 근사를 사용해 유도할 수 있다. liquid-drop model은 각각의 핵자를 물방울로 생각하고, 원자핵을 A개의 물방울이 합쳐진 큰 물방울로 가정하여 핵의 부피와 반지름 개념을 사용하는 방법이다. 이 모델을 기반으로 생각하면 핵의 결합에너지에 영향을 주는 요인은 다음 5가지를 들 수 있다. 

a) 부피

  핵을 구성하는 핵자는 서로 간에 핵력이 작용하므로 그 숫자가 곧장 결합에너지에 일조한다. 그런데 핵력은 거리가 짧은 힘이므로 바로 이웃한 핵자에만 영향을 준다. 같은 부피의 공을 최적의 공간 효율로 쌓을 때 다음과 같이 12개의 이웃한 공을 갖는 형태가 된다는 것이 알려져 있다(케플러의 추측). 

  퍼텐셜에너지가 2개의 입자가 이루는 1개의 쌍마다 U씩 더해진다고 가정하면, 하나의 이웃한 입자마다 0.5U씩 더해서 핵을 구성하는 1개의 핵자당 6U의 퍼텐셜에너지를 갖게 된다. 따라서 부피에 의한 에너지는 6AU로 쓸 수 있다. 

$$E_1=6AU=a_1A$$

b) 표면

  그런데 표면에 있는 입자들은 이웃한 입자가 12개가 아니므로, (a)에서 구한 에너지에서 그만큼을 빼주어야 한다. 표면에 있는 입자의 수는 핵의 겉넓이에 비례한다. 단위넓이당 제외되는 에너지를 E로 두면 표면에 의한 에너지는 다음처럼 쓸 수 있다. 

$$E_2=-4 \pi R^2E=-a_2A^{2/3}$$

c) 전자기력

  핵 내부의 양성자들은 서로 간에 전자기적 척력이 작용하여 결합을 방해하므로, 이 양을 결합에너지에서 빼줘야 한다. 이는 Coulomb force 공식에 의해 다음처럼 계산된다.

$$V=-\cfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}$$

  핵력과 달리 전자기력은 멀리까지 작용하는 힘이므로, 계산에 넣어야 하는 양성자 쌍의 수는 원자번호 Z에 대해 Z(Z-1)/2로 가능한 모든 pair의 수와 같다. 반지름이 R인 구 내부에서 임의의 두 점을 잡아 측정한 거리를 r이라 할 때, 1/r의 평균이 1/R에 비례함이 알려져 있다. 따라서 전자기력에 의한 에너지는 다음처럼 쓸 수 있다. 

$$E_3 \propto \cfrac{Z(Z-1)V}{2} \propto -\cfrac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}$$

$$E_3 = -a_3\cfrac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}$$

d) asymmetry energy

  배타 원리(exclusion principle)에 의해 핵 내부의 에너지 준위는 각각 양성자 pair 하나와 중성자 pair 하나로 완전히 차게 된다. 즉 4개의 핵자 nnpp가 하나의 에너지 준위를 차지하는 것이다. 이 때문에 핵 내부의 중성자가 양성자보다 많아지면(원자번호가 커지면 이런 경향이 나타난다) 중성자들은 비어있는 양성자 자리로 들어가지 않고 더 높은 에너지 준위의 중성자 자리에 들어가며, 핵의 불안정성이 증가하는 결과를 가져온다. 

  이로부터 기인한 asymmetry energy는 다음처럼 쓴다. N은 중성자의 개수를 의미한다. 

$$E_4=-a_4\cfrac{(N-Z)^2}{A}=-a_4\cfrac{(A-2Z)^2}{A}$$

e) pairing energy

  또한 양성자와 중성자는 2개씩 짝을 지어 pair를 이루려는 성질이 있다. 이 때문에 짝수 개의 양성자 또는 중성자를 가진 핵은 그렇지 못한 핵보다 더 안정적이다. 이로 인한 pairing energy는 다음과 같다. 

$$E_5=(\pm, 0)\cfrac{a_5}{A^{3/4}}$$

  부호가 +일 때는 p와 n의 개수가 모두 짝수일 때이고, 0일 때는 둘 중 하나만 짝수일 때, -일 때는 둘 다 홀수 개일 때를 말한다. 

 

  이상의 요인들을 정리해 총 결합에너지를 구하고, 이를 핵자의 수로 나누어주면 Fig 1의 그래프를 얻는다. 일반적으로는 앞의 3가지 요인만을 주로 사용하는데, 이로부터 다음의 그래프 개형을 얻는다. 

  Fig 1과 비교해보면 A가 작은 구간에서의 peak가 나타나지 않는 것을 알 수 있다. (d)와 (e)의 요인을 포함하면 peak에 해당하는 He, C, O의 binding energy 오차를 바로잡을 수 있다. 

 

참고문헌

1. A. Beiser, "Concepts of Modern Physics", 6th ed., McGraw-Hill Ltd. (2003)

2. F. Chen, "Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion", Springer (2016)

3. J. D. Lawson, "Some criteria for a useful thermonuclear reactor", Atomic Energy Research Establishment, Harwell, Berkshire, U. K. (1955)

4. Kyoung Jae Chung, "Fusion energy(Introduction to Nuclear Engineering)", Seoul National University (2020)

5. Kyoung Jae Chung, "Various Fusion Concepts(Introduction to Nuclear Engineering)", Seoul National University (2020)

6. www.kfe.re.kr (image)

7. en.wikipedia.org/wiki/Kepler_conjecture (image)

8. www.splung.com/content/sid/5/page/benergy (image)